Аватары изначально включены в WordPress при помощи приложения Gravatar. Но чтобы его добавить, нужно не малое количество действий выполнить и не всем это поплечу.

Второй вариант поставить BuddyPress где эта возможность идет в комплекте.

Но ставить столь большой компонент, без необходимости в его функционале — большой грех.

Нам нужно просто добавить возможность выбирать аватар, чтобы это работало в купе с типовыми функциями WordPress.

Вот https://wordpress.org/plugins/simple-local-avatars/